紀要論文 曲面上の測地線としての最速降下曲線

森田, 正亮  ,  もりた, まさあき  ,  Morita, Masaaki  ,  沖縄工業高等専門学校 総合科学科

内容記述
粒子がポテンシャル中を運動するときに,ある二点間を最短時間で結ぶ「最速降下曲線」を曲面上の測地線と見なすことはできるか?という問題について考察する.共形平坦な計量を持つ2次元リーマン多様体での測地線と見なせることは直ちに分かるが,その多様体を3次元空間R^3に埋め込むことができるかどうかは自明でない.そこで,回転面という条件の下で曲面を構成することを試み,ポテンシャルと構成された曲面の関係を明らかにする.また,極小曲面の場合に埋め込み可能であるための条件について議論する.
We consider whether a brachistochrone curve, which is known as a trajectory on which a particle in a potential travels in a shortest time between given two points, can be regarded as a geodesic in a surface. We immediately find that a brachistochrone curve is equivalent to a geodesic in a two-dimensional Riemannian manifold with a conformally flat metric, but it is non-trivial whether the manifold can be embedded in a three-dimensional Euclidean space. We attempt to constitute a surface of revolution that realizes the Riemannian manifold, and clarify the relation between the mechanical potential and the surface constituted. We also discuss the possibility that the Riemannian manifold is embedded as a minimal surface.
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http://okinawa-repo.lib.u-ryukyu.ac.jp/bitstream/20.500.12001/22248/1/No12p37.pdf

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