Thesis or Dissertation Discrete Integrable System and Invariant Variety of Periodic Points

Yumibayashi, Tsukasa

pp.1 - 128 , 2015-03-25
In this thesis, we discuss the nature of periodic points of discrete integrable systems. We consider, in particular, integrable rational maps and/or algebraic difference equations(ADE), whose behavior we can decide precisely for all initial conditions. It was shown, in the last ten years, that periodic points of such a system form an algebraic variety different for each period if the system has a sufficient number of invariants. Since every variety is determined only by information of the invariants it is called an invariant variety of periodic points(IVPP). It was also suggested that the existence of an IVPP might be sufficient to characterize integrability of rational maps. This is because we can prove that the coexistence of an IVPP and a discrete set of periodic points of any period is forbidden in one map. Thus an IVPP guarantees non existence of the Julia set, a fractal set of unstable periodic points which characterizes non-integrability of the system. Having studied the properties of IVPPs in many discrete maps we encountered various interesting phenomena common in such systems. For example, the algebraic varieties associated with IVPPs of different periods intersect each other. The intersections form a variety which is singular because every point of the variety is occupied by points of different periods simultaneously. The main purpose of this thesis is to explore where and how the intersections of IVPPs can take place. First by studying the periodicity conditions for the maps in detail we will arrive at a proposition that the intersections are possible only on the singularities of the maps. In the case of rational maps the zero set of denominators form a variety of singular points(SP), while the points satisfying 0/0 form a variety of indeterminate points(IDP). In the ADE case the IDPs can be determined from the implicit function theorem. Many integrable maps are investigated by means of computer algebra to confirm our proposition. Based on this observation we have found the following phenomena in this work.・Let us consider a d-dimensional map with p invariants. After elimination of p variables by using all the invariants, we obtain ADE for (d-p) variables whose coefficients are parameterized by the invariants. If we fix the parameters such that the invariants specify the IVPP of period n, the ADE becomes a recurrence equation of period n. Namely, all solutions of this ADE are n periodic for any initial point.・On the other hand if we parameterize the SP of a rational map by the invariants, any point on the SP must be mapped, after n steps, to the IVPP of period n. In other words, the singular points of the map are the source of IVPPs. This fact enables us to derive IVPPs of all periods iteratively. Moreover we will show that this phenomenon can be associated with a "projective resolution" of "triangulated category”.・Finally we investigate how the transition takes place between an integrable map and a non-integrable map. To this end we introduce an arbitrary parameter a to an integrable map, such that the map becomes integrable at a=0. When a is finite the repelling periodic points of the map form the Julia set. As a varies the value continuously every point of the Julia set moves along an algebraic curve. We see that some of them approach IVPPs in the a=0 limit but a large part of them approach the singular points of the integrable map, so that the points become singular loci of the algebraic curves which are highly degenerate for each period.
我々は本論文に於いて離散可積分系における周期点の性質を議論する。特に、我々は、任意の初期点について挙動を正確に定めることのできる、可積分な有理写像及び、代数差分方程式(ADE)について考察する。過去十年程、十分な不変量を持つ系について、それぞれの周期の周期点が代数多様体を成す現象が与えられてきた。特に、代数多様体の情報が、系の不変量のみの情報から定まるとき、それは不変周期点代数多様体(IVPP)と呼ばれる。IVPPの存在は有理写像の可積分性を特徴付ける十分条件であると提案された。それは、IVPPと、離散周期点集合の非共存性の証明に依るものである。つまり、IVPPは、反発周期点集合の閉包からなる、フラクタル集合であり、非可積分系を特徴づけると考えられている、Julia集合の非存在を保証すると考えられる。IVPPの研究を通し多くの離散写像について共通する興味深い現象が得られてきた。例えば、異なる周期のIVPP達が交点を持つことが挙げられる。その交点は、異なる周期の周期点が同時に存在しており、特異な点である。本論文の、主たる目的は、どのようにIVPP達が交点を持つのかを探索することである。初めに、我々は周期点条件の詳細を議論することで、交点は、写像の特異な点のみ可能である、という命題を与える。その特異な点とは、有理写像の場合、分母が0となる“特異点集合(SP)”、分母、分子が同時に0となる、0/0の集合、“不定点集合(IDP)”であり、ADEの場合、IDPは陰函数定理に依って与えられる。コンピュータ代数により、我々の命題は、多くの可積分系について研究され、裏付けられる。本研究において、我々が発見した、基礎となる現象を与える: ・ 我々はd次元、p不変量を持つ写像を扱う。そして、不変量を用いてp変数を消去し、不変量径数係数を持つd-p次元ADEを与える。もし、不変量係数をn周期IVPP上に固定すれば、そのADEは、任意の初期点についてn周期点となる、つまり、n周期再帰方程式になる。・ また、もし有理写像のSPを、不変量で径数付けたならば、n周期IVPP上の径数は、n回写像の後、またSPに写像されなければならない。言い換えれば、写像のSPは、IVPPの源となっているとも考えられる。この事実は、すべての周期のIVPPを導く方法を与える。更に、我々はこの現象が、三角圏と、その射影分解と解釈することについて、考察する。最後に、可積分系と、非可積分系の間の遷移について、考察する。それは、可積分写像に対し、a=0で、可積分系となる、任意の径数を導入することによって行う。径数aが零でないとき、写像の反発周期点集合はJulia集合を与える。径数aを連続的に変形すると、Julia集合は、代数曲線を描き、動いていく。この時、我々は、a=0の極限で、それらがIVPP及び、ほとんどの部分が、可積分写像におけるSP、或るいはIDPに、近づいていくことを見る。

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