会議発表論文 A remark on algebraic dimension of twistor spaces

本多, 宣博  ,  Honda, Nobuhiro

2015-12
内容記述
ツイスター空間は実 4 次元多様体上の自己双対計量から自然に生じる 3 次元複素多様体 である。コンパクトなツイスター空間の小平次元は −∞ であり、generic なものの代数次 元は 0 である。Campana (JDG 1991 年) により、代数次元が 3、すなわち Moishezon と なるツイスター空間は、nCP2 (= n 個の CP2 の連結和、ただし 0 CP2 = S4) 上の自己双 対計量からくることが知られている。代数次元が 2 のコンパクトツイスター空間は、藤木 (JMSJ 2002 年) により、nCP2 上の 自己双対計量か、(S3 × S1)#nCP2(n ≥ 0)を不分岐有限被覆にもつ多様体上の自己双対 計量からくることが知られている。後者については、S3 × S1 上の代数次元が 2 のツイス ター空間が Pontecorvo により初等的な方法で構成されている。(n ≥ 1 のときそのような ツイスター空間の存在は知られていないと思われる。) 一方、前者については、n < 4 なら ば nCP2 上には代数次元が 2 のツイスター空間は存在しない。また、4CP2 上には代数次 元が 2 のツイスター空間が存在することが Campana-Kreussler (PAMS 1999 年) により 示されており、その構造についてかなり詳しいことがわかっている。n > 4 のときにも nCP2 上に代数次元が 2 のツイスター空間が存在することを期待する のは自然であるが、これは見かけよりも微妙な問題である。本講演では、n > 4 のとき、 ツイスター空間にある単純な条件を課すとその代数次元は 2 にはならないという、筆者と B. Kreussler による最近の結果を紹介する。この条件は、基本線形系が 1 次元以上という ものである。基本線形系とは、反標準束の半分(ツイスター空間上ではいつでもこのような 半分がある)が定める線形系のことである。ただし、n > 4 のとき nCP2 上のツイスター 空間の基本系は 0 次元にも空にもなり得るので、n > 4 のときに nCP2 上に代数次元が 2 のツイスター空間が存在するかは未解決であると考えられる。

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